偏心補正計算

2014年度 No.6

図6のように、既知点Bにおいて、既知点Aを基準方向として新点C方向の水平角を測定しようとしたところ、既知点Bから既知点Aへの視通が確保できなかったため、既知点Aに偏心点Pを設けて、水平角T´、偏心距離e及び偏心角φの観測を行い、表6の結果を得た。既知点A方向と新点C方向の間の水平角Tは幾らか

ただし、既知点A、B間の距離Sは、2,000mであり、S及び偏心距離eは基準面上の距離に補正されているものとする。また、角度1ラジアンは、2″×105とする。
図6

表6
既知点Aφ=330°00′00″
e=4.80m
既知点BT´=45°37′00″

解答手順1(正弦定理)

求めたいのはTの角度です。TはT´−Xで求められます。Xは赤線のところです。まずは表6の数字と、問題文中に登場したSの距離を図に書き込みましょう。青線のところの角度は30°であることが分かるのでそれも書き込んでしまいましょう。ついでに書いておきますが、φはファイと読みます。
図6に表6と問題文中の数字を書き込んだ画像

次は公式に数字を当てはめます。偏心補正計算で使う公式は、正弦定理か余弦定理かのどちらかです。大体正弦定理の方を使います。角度を求めたいときに使うのが正弦定理で、辺の長さを知りたいときに使うのが余弦定理です。今回はTを求めるためにT´−Xがしたいので、まだ何度なのかが分かっていないXの角度を求めます。
正弦定理の画像

正弦定理より、4.8/sinX = 2000/sin30°

(この問題を解くときには必要のないことですが、分子の単位が揃っていない場合には、計算前に分子の単位を揃えましょう。)

4.8 = 2000/sin30°×sinX

4.8×sin30°/2000 = sinX

(sin30°は0.5です。関数表を参照のこと。)

sinX=4.8×0.5/2000

sinX=2.4/2000

解答手順2(ラジアン)

ここで冒頭のT=T´−Xに数字を当てはめると、T=45°37′00″−2.4/2000になるわけですが、単位が違うので計算ができません。そこで単位を揃えます。単位を揃えるにはラジアンというものを使います。問題文によると角度1ラジアンは、2″×105です。これを2.4/2000に掛けます。

2.4/2000×2″×105
    =2.4/2000×2″×100000
    (105は100000という意味です。0が5個)
    =4.8″/2000×100000
    =4.8″/2×100
    =2.4″×100
    =240″
    =4′
    (60″(60秒)=1′(1分)なので)

これでT=T´−Xの計算ができます。

  T=45°37′00″−4′

    =45°33′00″

この問題の答えは45°33′00″です。